Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α + + β β, α + β = () Επειδή μια συνολική φάση στην έκφραση () δεν έχει καμμία μετρήσιμη επίδραση μπορούμε να θεωρήσουμε ότι α. iϕ (Γενικά α = α e α και β = β e β και επομένως iϕ ( ) iϕ iϕ i i( ) ( ) α β ϕ ϕβ ϕ α α i ϕβϕα e e e e e ψ = α + + β = α + + β α + + β ) Επομένως α = β () Οι άλλες πληροφορίες που έχουμε είναι ότι ˆ ˆ α S = ψ S ψ = ( α β ) σ = ( α β + αβ ) = β c (3) και α β ( ) ˆ ˆ = ψ S ψ = α β σ3 = ( α β ) = S c (4) Από τις εξ. () και (4) θα πάρουμε : c + c β = c β = και α = (5) Από τη σχέση (3) θα έχουμε ότι iθ iθ αβ ( + β) = c αβ( e + e ) = αβcosθ= c και επομένως c c cosθ = = αβ c i e θ β = β (6) 9
Επειδή cosθ = cos( π θ) η εξίσωση (6) δεν αρκεί για τον πλήρη προσδιορισμό της φάσης του μιγαδικού αριθμού β. Η πληροφορία που χρειαζόμαστε επιπλέον είνα ˆ ˆ α S ( ) ( ) = ψ S ψ = α β σ = α β αβ = α( β β ) = α β sinθ β i i Η τελευταία σχέση προσδιορίζει αν η γωνία θ βρίσκεται στο διάστημα (, π ) ή στο διάστημα ( π, π ) και επομένως συνδυαζόμενη με την (7) θα μας δώσει το ζητούμενο αποτέλεσμα. Προσέξτε οτι οι πληροφορίες που χρειάζεστε για να προσδιορίσετε την επαλληλία (): Δεν αρκεί να μετρήσετε το φυσικό μέγεθος τις ιδιοακαταστάσεις του οποίου χρησιμοποιήσατε ως βάση (έτσι θα βρείτε μόνο τα μέτρα των συντελεστών όπως είναι προφανέ ςαπό την (5)) αλλά πρέπει να μετρήσετε και μεγέθη τα οποία αντιπροσωπεύονται από τελεστές οι οποίοι δεν μετατίθενται με τον τελεστή τις ιδιοκαταστάσεις του οποίου χρησιμοποιήσατε. (7) Άσκηση 5. (*) Ένα σωμάτιο με spin / και φορτίο e ( < ) βρίσκεται υπό την επίδραση ομογενούς μαγνητικού πεδίου στη διεύθυνση n. Τη χρονική στιγμή t = το σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση ψ α β ± ιδιοακαταστάσεις του S ˆ. = + +. ( ) (α) Μετά από χρόνο t > μετράτε την προβολή του spin στον άξονα πιθανότητα να βρείτε + / και ποιά /;. Ποιά είναι η (β) Ας πούμε ότι στην προηγούμενη μέτρηση βρήκατε + /. Ποιά είναι η πιθανότητα αν μετά από χρόνο t > t ξαναμετρήσετε την προβολή του spin στον άξονα να βρείτε και πάλι + /; Υπ.: Ξεκινείστε από Hamiltonian που περιγράφει την αλληλεπίδραση του spin του ˆ ˆ σωματιδίου με το μαγνητικό πεδίο: ˆ e e B ˆ H = B S = n S ωn S mc mc όπου B = B B eb, n = και ω =. B mc Τη χρονική στιγμή t = η κατάσταση του σωματίου είναι η α ψ = α + + β α β + = β και η χρονική της εξέλιξη θα γίνει μέσω του τελεστή 3
ˆ i ( ) ep ˆ i ep ˆ i Ut = th = tω Sn ep tωσ n Δείξτε στη συνέχεια ότι ωt ωt ωt cos in sin ( in + n)sin ˆ Ut () ωt ωt ωt ( in n)sin cos + in sin Επομένως η κατάσταση του ηλεκτρονίου μετά από χρόνο t θα είναι ωt ωt ωt cos in sin ( in + n)sin αt α = βt ωt ωt ωt ( in n)sin cos in sin β + Αν τώρα θυμηθείτε τις ιδιοκαταστάσεις του S ˆ θα απαντήσετε αμέσως στο πρώτο από τα ερωτήματα. Η απάντηση στο δεύτερο θα δωθεί αν λάβετε υπόψη σας ότι μετά την μέτρηση ενός μεγέθους το σύστημά σας βρίσκετε σε ιδιοκατάσταση του μεγέθους αυτού. Άσκηση 6. (*) Θεωρείστε ένα ηλεκτρόνιο μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B = B. Το αποτέλεσμα μέτρησης τη χρονική στιγμή t = έδειξε ότι το σωμάτιο βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση του τελεστή S ˆ με ιδιοτιμή /. Να βρείτε : (α) Την πιθανότητα να βρεθεί μετά από χρόνο t σε ιδιοκατάσταση του S με ιδιοτιμή ± /. (β) Την πιθανότητα να βρεθεί μετά από χρόνο t σε ιδιοκατάσταση του S με ιδιοτιμή ± /. (γ) Την πιθανότητα να βρεθεί μετά από χρόνο t σε ιδιοκατάσταση του S με ιδιοτιμή ± /. Υπ. Την απάντηση τη βρήκατε ήδη στη προηγούμενη άσκηση. ˆ ˆ ˆ Άσκηση 7. (*) Σωμάτιο έχει τροχιακή στροφορμή l = και spin /. ˆ ˆ ˆ (α) Έστω J = L + S. Μετράτε τα Ĵ και J. Ποιά είναι τα δυνατά αποτελέσματα; (β) Βρείτε τις κοινές ιδιοκαταστάσεις των ( ˆ ), ˆ, ˆ, ˆ ˆ J J L S. 3
Απ.: ˆ J j, m = j( j+ ) j, m J j, m = m j, m ˆ j = 3/ m= 3/,/, /, 3/ j = / m= /, / 3 3 3, =,,, =, +,, 3 3 3 3 3, =, +,,, =, 3 3, =,,,, =,, 3 3 3 3 Άσκηση 8. (*) Σωμάτιο έχει τροχιακή στροφορμή l = και spin /. ˆ ˆ ˆ (α) Μετράτε την προβολή της συνολικής στροφορμής J = L + S και του spin στον άξονα και βρίσκετε j = / και m = /. Ποιές είναι οι δυνατές τιμές του μέτρου της συνολικής στροφορμής και ποιές οι αντίστοιχες πιθανότητες; ˆ ˆ ˆ (β) Μετράτε την προβολή της συνολικής στροφορμής J = L + S και του spin στον άξονα και βρίσκετε j = /και m =/. Ποιές είναι οι δυνατές τιμές του μέτρου της συνολικής στροφορμής και ποιές οι αντίστοιχες πιθανότητες; Υπ. : (α) Παρατηρείστε από την προηγούμενη άσκηση ότι η δυνατότητα j = / και παρουσιάζεται σε δύο περιπτώσεις : 3 j =, j = = l =, m= + l =, m= και 3 3 m =/ 3
j =, j = = l =, m= l =, m= 3 3 Λύνοντας θα βρούμε 3 l =, m= = j =, j = j =, j = 3 3 και επομένως 3 P( j = ) =, P( j = ) = 3 3 (β) Για να απαντήσετε στο δεύτερο ερώτημα αρκεί να συνειδητοποιείσετε την ισοδυναμία των αξόνων και. Αν το κάνετε αυτό θα βρείτε όπως και πριν 3 l =, m= = j =, j = j =, j = 3 3 3 l =, m = = j =, j = + j =, j = 3 3 άρα 3 P( j = ) =, P( j = ) = 3 3 Άσκηση 9. (*) Ένα σύστημα ηλεκτρονίων βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο προσανατολισμένο στον άξονα. Θεωρείστε ότι η δυναμική του συστήματος καθορίζεται από την Hamiltonian : ˆ e ˆ e H = B S = B( Sˆ ˆ + S ) mc mc (α) Τη χρονική στιγμή t = το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση ψ + i = s =, m= + s=, m= 33
Εξηγείστε γιατί είναι η πιθανότητα σε μια μέτρηση της προβολής του spin των σωματιδίων στον άξονα, να βρείτε για το ένα τιμή / και για το άλλο /. (β) Βρείτε την κατάσταση του συστήματος μετά από χρόνο t και προσδιορίστε την πιθανότητα σε μια μέτρηση της προβολής του spin των σωματιδίων στον άξονα, να βρείτε και για τα δύο τιμή /. Υπ.: Γράψτε Έτσι, =,, και, =, +, ψ = a, b, με + i + i a=, b + = και αρα, ψ = a και, ψ = b, a + b = + + = Στη συνέχεια γράψτε τον τελεστή χρονικής εξέλιξης Uˆ = UU ˆ ˆ = e e e e ω ω σ i ˆ i ˆ t t tωs tωs i σ i και προχωρείστε παρατηρώντας ότι ( )( ) UU ˆ ˆ m, m = Uˆ m Uˆ m Άσκηση 3. Η δυναμική ενός συστήματος δύο σωματιδίων με spin/ περιγράφεται από την Hamiltonian ˆ α ˆ ˆ 4β ˆ ˆ Η= ( S + S) + S S. Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές της Hamiltonian μέσω των ιδιοκαταστάσεων s, m; s, m των S, S, S και S. Για ποιές τιμές του λόγου α / β παρουσιάζεται εκφυλισμός ; 34
Υπ. Δώστε στη Hamiltonian τη μορφή ˆ α ˆ β Η= S ( ˆ ˆ + S S Ŝ ) όπου ˆ ˆ S = S ˆ + S. Παρατηρείστε στη συνέχεια ότι ˆ 3 Η s, s, s, m = αm+ βs( s+ ) s, s, s, m και εκφράστε τα s, s, s, m μέσω των s, m; s, m. Η ενέργεια των διαφόρων καταστάσεων είναι E = α + β, E = α + β, E = β, E =3β. Για α, β προφανώς δεν,,,, υπάρχει εκφυλισμός εκτός και αν α + β =3β ή α + β = 3β οπότε οι καταστάσεις,,, ή,,, αντίστοιχα είναι εκφυλισμένες. Για α, β = οι καταστάσεις, και, είναι εκφυλισμένες. Για α =, β οι καταστάσεις,,,,, είναι εκφυλισμένες. Αρα εκφυλισμός υπάρχει για α =± 4,,. β Άσκηση 3. Δύο μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια βρίσκονται δεσμευμένα σε κάποιο δυναμικό και έχουν καθορισμένη ενέργεια. Θεωρείστε ότι το πρόβλημα είναι μονοδιάστατο και γράψτε τη γενική μορφή που μπορεί να έχει η κυματοσυνάρτηση του συστήματος : (α) Εάν τα σωμάτια είναι διακρίσιμα. (β) Εάν είναι μη διακρίσιμα μποζόνια (γ) Εάν είναι μη διακρίσιμα φερμιόνια (δ) Επαναλάβετε τα ίδια εάν έχετε τρία σωμάτια. Απ. (α) ϕn ( ) ϕ n ( ) (β) ( ϕn ( ) ) ϕn ( ) + ϕn ( ) ϕn ( ) (γ) ( ϕn ( ) ) ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( ) (δ) Για φερμιόνια : ( ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( 3 3) ϕn ( ) ϕn ( 3) ϕn ( 3 ) ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( 3 3) + 3! + ϕn ( ) ϕn ( 3) ϕn ( 3 ) + ϕn ( 3) ϕn ( ) ϕn ( 3 ) ϕn ( 3) ϕn ( ) ϕn ( 3 ) = ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( 3) = ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( 3). Το μυστικό της κατασκευής είναι ότι ξεκινάτε τον 3! ϕn ( 3 ) ϕn ( 3 ) ϕn ( 3 3) συνδυασμό (,, 3) και κάνετε όλες τις δυνατές μεταθέσεις βάζοντας ± ανάλογα με τον αν χρειάζεστε άρτιο ή περιττό αριθμό βημάτων για να επανέλθετε στον αρχικό σας συνδυασμό. ) 35
Άσκηση 3. (*) Για τα δύο σωμάτια της προηγούμενης άσκησης και για τις περιπτώσεις (α), (β) και (γ). υπολογίστε την ποσότητα ( ) = Απ.:(α) ( ) + nn nn nn nn = (β) ( ) ( ) nn bosons = + (γ) ( ) ( ) nn fermions Όπου γράψαμε f ( ) dϕn( ) f( ) ϕm( ) nm Άσκηση 33.(*) Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο στο δυναμικό V( ˆ) = mω ˆ + mω gˆ (α) Λύστε το πρόβλημα ακριβώς.(θεωρώντας τις ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή γνωστές όπως επίσης και το ενεργειακό φάσμα). Στη συνέχεια εξετάστε δύο περιπτώσεις: Την περίπτωση g και την περίπτωση g. Βρείτε τη διόρθωση του ενεργειακού φάσματος σε προσέγγιση δεύτερης τάξης. (Υπ.: Γράψτε V( ˆ) = mω ˆ με ω = + g. Θα δείτε έτσι ότι En = ωn+ = ωn+ + g. Για την περίπτωση g χρησιμοποιείστε την + g + g g +... Στην δεύτερη περίπτωση γράψτε 8 + g = g + g + +... ) g g 8g (β) Να επαναλάβετε τον υπολογισμό με τη βοήθεια της θεωρίας διαταραχών. (Υπ.: Στην πρώτη περίπτωση ο δεύτερος όρος στο δυναμικό είναι η μικρή διαταραχή ενώ στη δεύτερη ο πρώτος. Θα χρειαστεί να υπολογίσετε όρους του τύπου nˆ k. Χρησιμοποιείστε τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής και γράψτε ˆ = ( aˆ ˆ) + a. Έτσι θα βρείτε ότι mω nˆ k = ( ( k+ )( k+ ) δnk, + ( k+ ) δnk, + kk ( ) δ nk, ) mω Άσκηση 34.(*) Φορτισμένο σωμάτιο είναι δεσμευμένο σε δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή (σε μια διάσταση). Ταυτόχρονα τοποθετείται μέσα με ηλεκτρικό πεδίο έντασης E = Ee. (α) Να βρείτε το ενεργειακό φάσμα του σωματιδίου. 36
(β) Να κάνετε τον ίδιο υπολογισμό στο πλαίσιο της θεωρίας διαταραχών και να συγκρίνετε τα αποτελέσματα. pˆ = + ω ˆ ˆ Απ. Η Hamiltonian του σωματιδίου είναι : Hˆ m qe. Είναι γενικός m κανόνας ότι συναρτήσεις της μορφής f ( ) = a + b πάντα μπορούν να γραφούν f ( ) a( ) c = για κατάλληλες τιμές των a και c. Με απλή σύγκριση θα b διαπιστώσετε ότι = και c a qe q E V( ) = mω V ( ) c. mω mω b =. Επομένως το δυναμικό σας γράφεται: 4a Με την παρατήρηση αυτή η χροναανεξάρτητη εξίσωση Schroendinger παίρνει τη μορφή: d + V ( ) c ϕn( ) = Enϕn( ) md Αν τώρα γράψουμε = θα έχουμε: d + V ( ) ϕ ( ) ( ) n = Enϕn md όπου V ( ) = mω, ϕn( ) = ϕn( + ) και E n = En + c. Τη λύση στο πρόβλημα αυτό είναι γνωστή: ( ) ϕn( ) = AnΗn( )ep( ) ϕ ( ) ep, n = AnΗn β = β β β β β β mω Όπως είναι προφανές παριστάνει έναν ταλαντωτή το κέντρο ταλάντωσης του οποίου έχει μετατοπισθεί. Για την ενέργεια έχουμε: qe E n = En + c = ω( n+ ) En = ω( n ) + mω Αυτή την τελευταία σχέση θα επιβεβαιώσετε μέσω της θεωρίας διαταραχών. Θα διαπιστώσετε ότι η μόνη μηδενική διόρθωση είναι αυτή της δεύτερης τάξης. Άσκηση 35.(*) Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο στο δυναμικό σε δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή σε δύο διαστάσεις: V( ˆ, ˆ) = mω ˆ + mω ˆ (α) Λύστε το πρόβλημα ακριβώς. Βρείτε τον εκφυλισμό κάθε ενεργειακού επιπέδου. (β) Στο δυναμικό προστίθεται η αλληλεπίδραση Hˆ = λvˆ = λmω ˆˆ όπου λ. Να βρείτε, σε πρώτη τάξη της θεωρίας διαταραχών, τη μεταβολή των τριών πρώτων ενεργειακών επιπέδων. 37
(γ) Να λύσετε ακριβώς το πλήρες πρόβλημα και να συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με την απάντηση στην προηγούμενη ερώτηση. Απ. (α) Η πρώτη ερώτηση μπορεί να απαντηθεί πολύ εύκολα αν προσέξετε ότι το πρόβλημα σας είναι ισοδύναμο με δύο ανεξάρτητους μονοδιάστατους ταλαντωτές οι οποίοι έχουν την ίδια συχνότητα. Έτσι θα ορίσετε τους τελεστές mω pˆ ˆ mω p aˆ ˆ, ˆ ˆ = + i a = i mω mω mω pˆ ˆ mω p aˆ ˆ, ˆ ˆ = + i a = i mω mω και θα δουλέψετε για κάθε ταλαντωτή ξεχωριστά. Ονομάστε τις καταστάσεις του ενός n και του άλλου n. Προφανώς οι ιδιοκαταστάσεις του πλήρους συστήματος θα είναι οι n, n = n n. Η συνολική ενέργεια που θα βρείτε είναι ( ) E = E + E = ω n + n + nn n n αφού δεν υπάρχει αλληλεπίδραση. Η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας είναι αυτή που αντιστοιχεί στην τιμή n + n =. Προφανώς η μόνη δυνατότητα πραγματοποίησης αυτού του συνδυασμού είναι η n =, n = και έτσι υπάρχει μόνο μία βασική στάθμη :, =. Η επόμενη στάθμη είναι αυτή που αντιστοιχεί στην τιμή n + n = και αυτήν μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο διαφορετικούς τρόπους: n =, n = και n =, n =. Οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις είναι οι, = και, =. Προσέξτε ότι μεταχειριζόμαστε τους «δύο ταλαντωτές» ως διακρίσιμους: Ο ένας «πάλλεται» στην κατεύθυνση του άξονα και ο άλλος στη κατεύθυνση του άξονα. Στην πραγματικότητα, βέβαια, δεν πρόκειται για δύο αλλά για έναν ταλαντωτή ο οποίος έχει τη δυνατότητα να κινείται σε δύο ανεξάρτητες κατευθύνσεις. Έτσι η πρώτη διεγερμένη στάθμη παρουσιάζει εκφυλισμό τάξης. Η επόμενη στάθμη παρουσιάζει τριπλό εκφυλισμό αφού: n + n = n =, n =, n =, n =, n =, n =. ( ) ( ) ( ) Μπορείτε να βρείτε τον εκφυλισμό μιας τυχαίας κατάστασης αν δείτε ότι η εξίσωση n + n = N ( N : γνωστός ακέραιος ) έχει N + διαφορετικούς συνδυασμούς ακεραίων ως λύσεις. (β) Η βασική κατάστση δεν είναι εκφυλισμένη. Επομένως θα εφαρμόσετε τη θεωρία διαταραχών χωρίς πρόβλημα. Θα βρείτε () () () E = E ˆ ˆ ˆ + λ, V, + O( λ ) = E + λ mω + O( λ ) = E + O( λ ) αφού η μέση απομάκρυνση κάθε «ξεχωριστού ταλαντωτή» είναι μηδέν. Η δεύτερη στάθμη είναι διπλά εκφυλισμένη. Αυτό που πρέπει να γίνει είναι να πάτε στον υπόχωρο διάστασεων που φτιάχνουν οι ιδιοκαταστάσεις της ης στάθμης και να διαγωνοποιείσετε τη διαταραχή. Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα αν πρώτα 38
αναπαραστείσετε τον τελεστή V ˆ στη βάση {,,, }, Vˆ,, Vˆ, ˆ V ω =, Vˆ,, Vˆ, Οι ιδιοτιμές βρίσκονται αμέσως : E =± ω ± και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα είναι τα + + = (, +, ) και = (,, ) Αυτά τα ανύσματα πρέπει να αποτελέσουν τη βάση για τον προσδιορισμό της διόρθωσης στην ενέργεια της εκφυλισμένης στάθμης: () () ω λ E + = E + λv++ + O( λ ) = E + λ + O( λ ) = ω + + O( λ ) () () ω λ E = E + λv + O( λ ) = E λ + O( λ ) = ω + O( λ ) Για τη δεύτερη διεγερμένη θα δουλέψετε με τον ίδιο τρόπο:, Vˆ,, Vˆ,, Vˆ, ˆ, ˆ,, ˆ,, ˆ ω V V V V, =, V ˆ,, V ˆ,, V ˆ, Οι ιδιοτιμές είναι E = ω, E =, E = ω + Τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα είναι τα Έτσι:,,, =,, και =, +, +, + = + +, ( ) ( ) () + = + λ ++ + ( λ ) = ω 3 + λ + ( λ ) E E V O O E E V O O () = + λ + ( λ ) = 3 ω+ ( λ ) ( ) () + = + λ + ( λ ) = ω 3 λ + ( λ ) E E V O O 39
(γ) Για να λύσετε πλήρως το πρόβλημα γράψτε ω λ ω 4 λ και ορίστε τις νέες μεταβλητές = ( + ) = οπότε το δυναμικό σας θα γίνει mω ( + λ) + mω ( λ) ( ) ( + + ) = ( + ) + ( ) + ( + ) ( ) m m και ( ) Αν τώρα παρατηρήσετε ότι, = + = η πλήρης Hamiltonian γράφεται ˆ ˆ pˆ p ˆ ˆ H = + + mω + mω m m είναι, δηλαδή, η Hamiltonian δύο ανεξάρτητων ταλαντωτών με διαφορετική συχνότητα: ω = +λ και ω = ω λ ω Το υπόλοιπο της ιστορίας είναι απλό. Άσκηση 36. Η Hamiltonian ενός συστήματος είναι ε a ˆ ˆ ˆ H = H + λv ε + λ b, ab, ε a b (α) Λύστε το πρόβλημα ακριβώς. (β) Βρείτε τη διόρθωση δεύτερης τάξης στο ενεργειακό φάσμα. Απ. (α) Το πλήρες πρόβλημα έχει τη μορφή 4
ε λa ε λb = E () λa λb ε Για να έχει λύση διάφορη του μηδενός το ομογενές σύστημα θα πρέπει ε E λa det ε E λb = ( EE)( E E)( EE3 ) = λa λb ε E όπου ( ) ( ) E = ε + ε ε ε + 4 λ ( a + b ), E = ε και ( ) ( ) E3 = ε + ε + ε ε + 4 λ ( a + b ) () Αν θεωρήσουμε ότι ε > ε και ότι θα βρούμε a + b 4 E = ε λ + O( λ ) ε ε a + b λ ( ε ε ) και E (3) 3 a + b 4 = + + O( λ ) (4) ε λ ε ε Έστω, και 3 τα ιδιοανύσματα της πλήρους Hamiltonian που αντιστοιχούν στις ιδιοενέργειες (). Για να τα βρούμε θα πάμε πίσω στο σύστημα (): ( ε ) λ ( ε ) λ λ λ ( ε ) E + a =, E + b =, a + b + E = (5) Εφαρμόζοντας την τελευταία για κάθε μια από τις ιδιοενέργειες και ζητώντας να ισχύει η + + = θα πάρουμε: λa λb N με N ( ) ( = ε E + λ a +b ), E ε b a a + b και 4
3 λa λb N με N ( ) ( 3 = ε E3 + λ a +b ) (6) 3 E 3ε Στην προσέγγιση (3) βρίσκουμε: a + b a λ ε ε a + b 3 b λ + O( λ ), a + b ε ε a + b λ ε ε a λ ε ε b λ + O λ (7) ε ε a b + λ ε ε 3 3 ( ) Λύσαμε, επομένως, πλήρως το πρόβλημα και είδαμε πώς συμπεριφέρεται η λύση μας ο όρος λ V ˆ θεωρηθεί «μικρός» (με την έννοια που υποδηλώνει η σχέση (3)). Μια παρατήρηση που θα μας χρειαστεί στη συνέχεια είναι αφορά στη συμπεριφορά των ιδιοανυσμάτων στο όριο λ : a b () () b, () a, 3 3 (8) a + b a + b ε (β) Όπως είναι προφανές το αδιατάρακτο σύστημα ˆ H ε παρουσιάζει ε εκφυλισμό αφού οι δύο πρώτες ιδιοκαταστάσεις του έχουν την ίδια ενέργεια. Τα () () () ιδιονύσματα της Ĥ μπορούν να είναι τα,, 3 μ μ () () () αλλά επίσης και τα ν, ν, 3 όπου οι συντελεστές μ, ν, μ, ν είναι τέτοιοι ώστε τα εν λόγω διανύσματα να φτιάχνουν ορθοκανονική βάση αλλά κατά τα άλλα είναι αυθαίρετοι. Όποιο σύνολο ανυσμάτων και εάν χρησιμοποιήσετε η αναπαράσταση της Ĥ είναι ακριβώς η ίδια. Για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε τη θεωρία διαταραχών θα πρέπει να άρουμε την εν λόγω αυθαιρεσία. Ο συνήθης τρόπος που εφαρμόζουμε είναι να διαλέξουμε τα 4
ιδιοανύσματα της αδιαταρακτης Hamiltonian έτσι ώστε να είναι και ιδιοανύσματα της διαταραχής. Στη συγκεκριμένη περίπτωση a ˆ V = b (9) a b και δεν μπορούμε να βρούμε με μοναδικό τρόπο τα ιδιοανύσματα της διαταραχής αφού και αυτά είναι εκφυλισμένα! () Μπορείτε, με πολύ απλό τρόπο, να διαπιστώσετε ότι τόσο το διάνυσμα όσο και το () είναι ιδιοανύσματα της Vˆ με ιδιοτιμή. H θεωρητική ανάλυση μας λέει ότι θα πρέπει τώρα να διαλέξουμε τα ιδιοανύσματα () () (),, 3 του αδιατάρακτου προβλήματος έτσι ώστε να είναι και ιδιοανύσματα του τελεστή: ˆ ˆ () () ˆ Δ= V 3 3 V () Το πρόβλημα αυτό μπορεί να λυθεί εύκολα στη βάση () () (),, 3 όπου a ab ˆ Δ ab b () Ο πίνακας αυτός έχει ιδιοανύσματα τα a () b, a + b () b a a + b και () 3 () Αυτή είναι η βάση στην οποία θα πρέπει να στηριχθεί η θεωρία διαταραχών. Είναι ακριβώς οι καταστάσεις που θα προκύψουν αν στο πλήρες πρόβλημα σβήσουμε τη διαταραχή! Από τη στιγμή που έχουμε επιλέξει την αρχική βάση μπορούμε να προχωρήσουμε χωρίς πρόβλημα : Τα βήματα της θεωρίας διαταραχών γίνονται όπως στη μη εκφυλισμένη περίπτωση. Το μόνο που χρειάζεται να βρείτε είναι η αναπαράσταση της διαταραχής στη βάση (). Ξεκινείστε με την παρατήρηση ότι σε μια τυχαία βάση ένας τελεστής γράφεται: 43
Επομένως στη βάση Εύκολα τώρα βρίσκουμε: ˆ ˆ V = n n V m m = n V n m n m nm m (3) () () (),, 3 έχουμε: Vˆ a 3 b 3 a 3 b 3 () () () () () () () () = + + + (4) Vˆ = Vˆ =, Vˆ 3 = a + b () () () () () () () ˆ () () ˆ () () ˆ () V = V = V 3 = () ˆ () () ˆ () () () 3 V = a + b, 3 V = 3 V ˆ 3 = (5) Έτσι στη βάση () () (),, 3 η διαταραχή αναπαρίσταται από τον πίνακα: a + b Vˆ (6) a + b Εφαρμόζοντας τώρα απλώς τα αποτελέσματα της μη εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών θα πάρουμε: a + b 4 E = ε λ + O( λ ) ε ε E = ε,, E 3 a + b 4 = + + O( λ ) (7) ε λ ε ε a + b a λ ε ε a + b 3 b λ + O( λ ), a + b ε ε a + b λ ε ε b a και a + b 44
3 3 ( a b O a b λ ε ε ) λ λ ε ε λ ε ε + + (8) σε πλήρη συμφωνία με την ακριβή λύση. 45